Lineare Algebra Beispiele

$(3 x - 2 y) = 7$ , $(y) = 2 x - 1$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$3 x - 2 y = 7, y = 2 x - 1$

Schritt 2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - 2 y = 7, y - 2 x = - 1$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 7 \\ - 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{7}{3} \\ - 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{7}{3} \\ - 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{7}{3} \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{2}{3}) & - 1 + 2 (\frac{7}{3}) \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{11}{3} \end{array}]$

Schritt 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{7}{3} \\ - 3 \cdot 0 & - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 (\frac{11}{3}) \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{7}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - 5$

$y = - 11$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 5, - 11)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 11 \end{array}]$